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灵活运用平行四边形的判定和性质.jpg

知识回顾:

平行四边形的对角相等,对边相等,对角线互相平分。

平行四边形的判定:

两组对边分别平行的四边形是平行四边形;

两组对边分别相等的四边形是平行四边形;

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;

两条对角线互相平分的四边形是平行四边形;

两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

类型一:平行四边形的性质

例:如图,E、F是□ABCD的对角线AC上的点,CE=AF,求证:BE=DF.

分析:

1、要想证明结论“BE=DF”,先要证明△ABE≌△CDF。

2、根据平行四边形边的性质可以知道AB=CD,AB∥CD。利用“两直线平行,内错角相等”可知∠BAE=∠DCF。

3、观察图形可以发现AE=AF-EF,CF=CE-EF;并且CE=AF,所以AE=CF。

证明:

∵CE=AF,EF=FE,

∴CE=AF

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD,AB∥CD,

∴∠BAE=∠DCF

在△ABE和△CDF中,

AE=CF,∠BAE=∠DCF,AB=CD

∴△ABE≌△CDF

∴BE=DF

练习:如图,□ABCD的对角线交于点O,过点O的直线交AD于E,交BC于F,求证:OE=OF

如图,□ABCD的对角线交于点O,过点O的直线交AD于E,交BC于F,求证:OE=OF.jpg

类型二:平行四边形的判定

例:如图,□ABCD中,点E、F是AC上两点,且AE=CF,求证:四边形EBFD是平行四边形.

证明: ∵四边形ABCD是平行四边形,

∴AD=CB,AD∥CB

∴∠EAD=∠FCB,

在△AED和△CFB中,

AE=CF,∠EAD=∠FCB,AD=CB

∴△AED≌△CFB,

∴ED=FB

同理可证△AEB≌△CFD,

∴EB=FD,

∴四边形EBFD是平行四边形.

读者可以尝试结合下图用“两条对角线互相平分的四边形是平行四边形”,来证明一下。

练习:例:如图,□ABCD中,DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E、F,求证:(1)四边形EDFB是平行四边形;(2)若BO=6,求BD的长.


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