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如图,CB,CE分别是△ADC,△ABC的中线,且AC=AD,∠ACB=∠ABC。

求证:CD=2CE

用“倍长中线法”构造全等三角形.jpg

1、为了证明CD=2CE,我考虑了两个思路,第一个思路是找CD的中点,试图证明CE等于CD长的一半,经过尝试,这个思路被我否定掉了。那就尝试用第二个思路,考虑到CE是△ABC底边AB上的中线,所以延长CE到点F,使CF=2CE,就能把证明CD=2CE的问题转化为证明CD=CF。

2、通过我们添加的辅助线,只要能够证明△CBF≌△CBD,就能得到结论CD=CF。但是要证明△CBF≌△CBD,现在只要CB公共边这一个条件。所以需要先证明另一组全等的三角形:△BEF和△AEC,看看这一组三角形全等后能给我们带来什么能够帮助我们证明△CBF≌△CBD的条件。

3、△BEF和△AEC全等能够得到结论:BF=AC,∠EBF=∠A。结合∠ACB=∠ABC观察图形可以发现∠ACB+∠A=∠ABC+∠EBF,从而可以得到证明△CBF≌△CBD的第二个条件∠CBD=∠CBF。

4、因为CB是△ADC的中线,所以AB=BD=AD。由于AC=AD,所以BF=AC=AB=BD。这时证明△CBF≌△CBD的第三个条件也有了。


证明:

延长CE到点F,使EF=CE,连接BF

∵CE是△ABC的中线

∴BE=AE

在△BEF和△AEC中

BE=AE (已证)

∠BEF=∠AEC (对顶角相等)

EF=CE (添加的辅助线)

∴△BEF≌△AEC (SAS)

∴BF=AC (全等三角形的对应边相等)

∠EBF=∠A (全等三角形的对应角相等)

∵∠ACB=∠ABC

∴∠ACB+∠A=∠ABC+∠EBF (等量代换)

即∠CBD=∠CBF

∵CB是△ADC的中线

∴AB=BD=AD

∵AC=AD

∴BF=AC=AB=BD

在△CBD和△CBF中

CB=CB (公共边)

∠CBD=∠CBF (已证)

BD = BF (已证)

∴△CBD≌△CBF (SAS)

∴CF=CD (全等三角形的对应边相等)

∴CD=2CE

小结:三角形中有中线时,常加倍延长中线,构造全等三角形,使边、角条件转换,从而将分散的边、角集中在一些图形中,使问题轻易得到解决。如果您认为我的分析对您有些帮助,请把文章分享给您的同学和朋友们。


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