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如图,已知AD为△ABC的中线,且∠1=∠2,∠3=∠4。

求证:BE+CF>EF

利用“翻折法”构造全等三角形.jpg

1、欲证BE+CF>EF,容易联想到三角形三边关系,所以需要设法把BE,CF,EF放在同一个三角形中。

2、我们可以在DA上截取DN=DB,连接NE,NF。只要能够证明BE=NE,CF=NF;就相当于把BE,CF,EF放在同一个三角形中了。

3、而要证明BE=NE,CF=NF;需要证明△BDE≌△NDE,△CDF≌△NDF。根据添加的辅助线和已知条件来证明这两组三角形全等并不难,难的是你是否想到了这种添加辅助线的方法。


证明:

在DA上截取DN=DB,连接NE,NF

∵AD为△ABC的中线

∴DB=DC

∴DN=DB=DC

在△BDE和△NDE中

DB=DN (添加的辅助线)

∠1=∠2 (已知)

ED=ED (公共边)

∴△BDE≌△NDE (SAS)

∴BE=NE (全等三角形的对应边相等)

在△CDF和△NDF中

DC=DN (已证)

∠3=∠4 (已知)

FD=FD (公共边)

∴△CDF≌△NDF (SAS)

∴CF=NF (全等三角形的对应边相等)

在△EFN中

NE+NF>EF (两边之和大于第三边)

∴BE+CF>EF

小结:在角平分线的两边构造一对全等三角形是几何证明题中常用的方法,有角平分线时,常在角两边截取相等的线段,所构成的全等三角形属于翻折变换图形。如果您认为我的分析对您有些帮助,请把文章分享给您的同学和朋友们。


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