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当已知或求证中涉及的线段a,b,c,d有如下情况:1、a>b,2、a±b=c,3、a±b=c±d中的一种时,一般采用“截长补短法”。

具体做法是:在较长的线段上截取一条线段等于较短线段,再设法证明较长线段的剩余线段等于另外的较短线段,称为截长法。延长较短线段中的一条,使延长出来的线段等于另外的较短线段,然后证明两线段之和等于较长线段,称为“补短法”。


如图1,在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点。

求证:AB-BC>PB-PC

用“截长补短法”构造全等三角形.jpg

方法一:截长法

1、欲要证明AB-BC>PB-PC,不难想象应得利用三角形的三边关系来证明,由于结论中是差的关系,所以用两边之差小于第三边证明。从而构造三角形,使它的一边等于AB-BC。所以想到在AB上截取一条线段AN=AC,如图2.

2、连接PN,此时只要能够证明PN=PC;在△BPN中,就能够利用两边之差小于第三边证明BN>PB-PN即AB-BC >PB-PN。所以现在的问题转换为证明△APN≌△APC。

3、通过我们添加的辅助线AN=AC,已知条件∠1=∠2,公共边AP就能够利用“边角边”证明△APN≌△APC。

证明:

在AB上截取一条线段AN=AC,连接PN,如图2

截长法.jpg

在△APN和△APC中

AN=AC(添加的辅助线)

∠1=∠2(已知)

AP=AP(公共边)

∴△APN≌△APC(SAS)

∴PN=PC(全等三角形的对应边相等)

∵BN=AB-AN(观察图形可以发现)

∴BN=AB-AC(等量代换)

在△BPN中,BN>PB-PN(两边之差小于第三边)

∴BN>PB-PC

∴AB-AC>PB-PC(等量代换)


方法二、补短法

1、延长AC至点M,使AM=AB,连接PM,如图3。此时只要能够证明PB=PM;在△CPM中,就能够利用两边之差小于第三边证明CM>PM-PC即AB-BC >PM-PC。PB=PM吗?

2、同样的道理,我们可以证明△ABP≌△AMP来得到结论PB=PM。

证明:

延长AC至点M,使AM=AB,连接PM,如图3

补短法.jpg

在△ABP和△AMP中

AB=AM(添加的辅助线)

∠1=∠2(已知)

AP=AP(公共边)

∴△ABP≌△AMP(SAS)

∴PB=PM(全等三角形的对应边相等)

∵CM=AM-AC(观察图形可以发现)

∴CM=AB-AC(等量代换)

在△CPM中,CM>PM-PC(两边之差小于第三边)

∴CM>PB-PC

∴AB-AC>PB-PC(等量代换)

小结:

用“截长补短法”可以得到两个基本图形,即两个全等三角形,从而使分散的条件集中,将复杂问题转化为证明线段相等。


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