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菱形的性质:

菱形的四条边相等,对角线互相垂直平分。

菱形的判定:

四条边都相等的四边形是菱形;

一组邻边相等的平行四边形是菱形;

对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

对角线互相垂直平分的四边形是菱形.

例1:如图,△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的角平分线,E为AD延长线上一点,CF∥BE交AD于F,连结BF、CE,求证:四边形BECF是菱形.

类型一:菱形的判定.jpg

分析:1、根据等腰三角形“三线合一”的性质易证明BD=CD,AD⊥BC。

2、根据“两直线平行,内错角相等”可证明∠DBE=∠DCF,进而证明△BDE≌△CDF。得到结论DE=DF。

3、此时有条件“BD=DC,DE=DF,FE⊥BC”,可以根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形。”证明四边形BECF是菱形。

证明:

∵AB=AC,AD平分∠BAC

∴BD=DC,AD⊥BC

∵CF∥BE

∴∠DBE=∠DCF

在△BDE和△CDF中

∠DBE=∠DCF

BD=CD

∠BDE=∠CDF

∴△BDE≌△CDF

∴DE=DF

又∵DB=DC,FE⊥BC

∴四边形BECF是菱形。

例2:已知AC⊥BD,AO=OC,BO=OD,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F,求证:AE=AF.

类型三:菱形的判定与性质的综合.jpg

分析:

1、根据条件“AC⊥BD,AO=OC,BO=OD”可判定“四边形ABCD是菱形”。

2、根据“菱形的每一条对角线平分一组对角”可知∠BAC=∠DAC,从而很容易地证明△ACE≌△ACF。

证明:

∵AC⊥BD,AO=OC,BO=OD,

∴四边形ABCD是菱形

∴AC平分∠BAD

∴∠BAC=∠DAC

在△ACE和△ACF中

∠AEC=∠AFC=90°

∠EAC=∠FAC

AC=AC

∴△ACE≌△ACF

∴AE=AF


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