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如图,已知在等腰Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC的角平分线交AC于点D,过点C作BD的垂线交BD的延长线于点E,交BA的延长线于点F。求证:(1)BF=BC;(2)BD=2CE。

数学思想方法之转化思想.jpg

分析:

1、因为BE是∠ABC的平分线,所以分得到的∠FBE和∠CBE相等。由于BE⊥CF,所以∠FEB=∠CEB=90°。再加上公共边BE这个条件,很容易证明△FBE≌△CBE。从而得到结论BF=BC。

2、观察图形可以发现,BD、CE不在同一直线上,也不在同一个三角形中,要证明它们成倍数关系,可以联想到将其中一条线段转化到与另一条线段有关系的直线上。通过△FBE≌△CBE可以得到结论:CE=EF=CF;即CF=2CE。所以我们可以想到证明BD=CF。

3、观察图形可以发现若要证明BD=CF,就需要证明△BDA≌△CFA。这两个三角形全等的条件有:AB=AC(等腰直角三角形的腰长相等),由于∠BAC=90°则有∠BAC=∠CAF=90°。此时还缺少条件:AD=AF或者∠ABD=∠ACF或者∠ADB=∠F。

4、我们思考发现证明∠ABD=∠ACF较容易。因为∠BAC=∠CEB=90°,所以∠ABD+∠F=∠ACF+∠F=90°,根据等量代换得到结论∠ABD=∠ACF。

5、证明了△BDA≌△CFA,得到结论BD=CF,就证明了BD=2CE。


证明:(1)

∵BE是∠ABC的平分线

∴∠FBE=∠CBE

∵BE⊥CF

∴∠FEB=∠CEB=90°

在△FBE和△CBE中

∠FBE=∠CBE (已证)

BE=BE (公共边)

∠FEB=∠CEB (已证)

∴△FBE≌△CBE(ASA)

∴BF=BC(全等三角形的对应边相等)

(2)∵△ABC是等腰直角三角形

∴AB=AC

∵∠BAC=90°

∴∠BAC=∠CAF=90°

∵∠BAC=∠CEB=90°

∴∠ABD+∠F=∠ACF+∠F=90°(直角三角形的两个锐角互余)

∴∠ABD=∠ACF(等量代换)

在△BDA和△CFA中

∠ABD=∠ACF(已证)

AB=AC (已证)

∠BAC=∠CAF(已证)

∴△BDA≌△CFA(ASA)

∴BD=CF(全等三角形的对应边相等)

∵△FBE≌△CBE

∴EF=CE

即CF=2CE

∴BD=2CE

小结:

当要证明不在同一直线上也不在同一三角形中的两条线段之间的关系时,可以应用转化的思想将它们放在同一条直线上,然后加以证明。如果您认为我的分析对您有些帮助,请把文章分享给您的同学和朋友们。


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